¿Por qué un número dividido entre cero “da” infinito?

Después de haber visto este vídeo, y buscar algo de información sobre el tema he llegado a las siguientes conclusiones:
La división se define como la operación inversa de la multiplicación, es decir, a/b=c, si y solo si bc=a, viendo esto nos damos cuenta de que dividir por cero, no tiene sentido, ya que:

1. Si a es distinto de 0 tenemos a/0=c, entonces 0c=a, lo cual es absurdo. 
2. Si a=0, tenemos 0/0=c, entonces 0c=0, lo que nos dice que cualquier valor de c podría ser el resultado de la operación. 

Viendo esto nos damos cuenta de que no podemos definir la división entre 0. 

Lo más cercano a esta idea es el cálculo de límites en los que el denominador tiende a 0, tanto de funciones como de sucesiones, siendo estas últimas lo que se tratan en el vídeo. La diferencia entre las funciones y las sucesiones es que en las sucesiones la expresión de la sucesión depende de n, y n solo toma valores en los números naturales, mientras que en una función la expresión depende de x y x toma valores en los números reales. Un ejemplo de esto es la sucesión 1/n que toma valores 1, 1/2, 1/3... y su respectiva función 1/x donde la función puede tomas valores como 1/(2,5), que en la sucesión no aparecen.

Veamos entonces los límites en los que el denominador tiende a 0. Distinguimos dos casos:

   1. Cuando el numerador es un número y el denominador tiende a 0. Veamos que sucede en este caso (vamos a hacer que el numerador valga 1) 

El resultado viene dado por el valor de c en la expresión 1/b=c, que podemos reescribir como bc=1. Y a medida que hacemos b acercarse a 0:

Si b=1/2, c=2

Si b=1/10, c=10  

 Y a medida que b se va haciendo mas pequeño vemos como c se va haciendo mas grande. Esto quiere decir que el lim 1/x cuando x tiende a 0 es infinito. Esto sucede independientemente de el valor de a, incluso si a es número "muy pequeño" como 0,0000001, ya que como b tiende a 0 llega un punto en el que b es mucho más pequeño que cualquier valor fijo distinto de 0 y por tanto c tiene que ser muy grande. Dependiendo de si a es positivo o negativo el límite a va ser + o - infinito. 

  2. Cuando el límite es 0/0: Este caso se puede abordar de muchas maneras la más fácil es fijar el numerador como 0 y hacer tender el denominar hacia 0. Veamos que pasa:

0/b=c, nos damos cuenta de que el resultado de esta expresión vale siempre 0, independientemente del valor de b, por tanto el lim 0/x cuando x tiende a 0 es 0. 

Sin embargo, al igual que hemos hecho tener el denominador hacia 0 podemos hacer tender el numerado hacia 0, el resultado del límite dependerá de la "velocidad" con la que se acerque cada uno a cero.

Si ambos se acercan a 0 a la misma velocidad, el numerador y el denominador toman el mismo valor y por tanto el lim x/x cuando x tiende a 0 es 1. 

Veamos ahora que pasa si hacemos que el denominador se acerque a 0 mas rápido que el numerador. Para hacer esto vamos a hacer que el denominador valga siempre la mitad que el numerador. En este caso el resultado de la división vale siempre 2, por lo tanto el lim x/(x/2) cuando x tiende a 0 es 2

Podemos hacer incluso que el límite valga infinito, para ello, tenemos que hacer que el denominador se acerque a 0 muchísimo más rápido que el numerador, una manera de hacer esto es elevar el denominador al cuadrado, pues cuando elevamos algo más pequeño que 1 al cuadrado el valor que obtenemos es todavía mas pequeño. Veamos que pasa: 

(1/2)/(1/2)²= 2 

(1/5)/(1/5)²= 5

(1/100)/(1/100)²=100

Vemos que el resultado de esa división es cada vez más grande a medida que hacemos numerador y denominador acercarse a 0. Por tanto lim x/x² cuando x tiende a 0 es infinito. 

Nos damos cuenta de que al igual que en el primer caso el resultado del límite siempre valía infinito, en el segundo caso al poder hacer que denominador y numerador se acerquen a cero de maneras distintas podemos obtener cualquier resultado como límite. 

Vemos que estos límites tienen coherencia con la definición que habíamos dado para la división que cuando a era distinto de 0 no existía un número c que fuese el resultado de la división, por que infinito no es un número. Y cuando a valía 0 cualquier valor nos valía como resultado y hemos visto que los límites del tipo 0/0 pueden tomar cualquier valor.